Упр.37.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

37.27. Упростите выражение:
1) $$\frac{1}{(a-1)(a-2)}+\frac{1}{(a-2)(a-3)}+\frac{1}{(a-3)(a-4)}$$;
2) $$\frac{1}{a(a+3)}+\frac{1}{(a+3)(a+6)}+\frac{1}{(a+6)(a+9)}+\frac{1}{(a+9)(a+12)}$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь в разность простых дробей:

$$\frac{1}{(a-1)(a-2)}=\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1},$$
$$\frac{1}{(a-2)(a-3)}=\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-2},$$
$$\frac{1}{(a-3)(a-4)}=\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-3}.$$

Тогда

$$\left(\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}\right)+\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-2}\right)+\left(\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-3}\right)$$
$$=\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-1} =\frac{a-1-(a-4)}{(a-1)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}.$$

2) Аналогично:

$$\frac{1}{a(a+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}\right),$$
$$\frac{1}{(a+3)(a+6)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+6}\right),$$
$$\frac{1}{(a+6)(a+9)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+6}-\frac{1}{a+9}\right),$$
$$\frac{1}{(a+9)(a+12)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+9}-\frac{1}{a+12}\right).$$

Складываем:

$$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+12}\right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{a+12-a}{a(a+12)} =\frac{4}{a(a+12)}.$$