Упр.37.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/(a-1)(a-2) +1/(a-2)(a-3) +1/(a-3)(a-4) ;
2) 1/(a(a+3))+1/((a+3)(a+6))+1/((a+6)(a+9))+1/((a+9)(a+12)).

Подробный ответ

1) Преобразуем каждую дробь в разность простых дробей:

$$ \frac{1}{(a-1)(a-2)}=\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}, $$
$$ \frac{1}{(a-2)(a-3)}=\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-2}, $$
$$ \frac{1}{(a-3)(a-4)}=\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-3}. $$

Тогда

$$ \left(\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a-1}\right)+\left(\frac{1}{a-3}-\frac{1}{a-2}\right)+\left(\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-3}\right) $$
$$ =\frac{1}{a-4}-\frac{1}{a-1} =\frac{a-1-(a-4)}{(a-1)(a-4)} =\frac{3}{(a-1)(a-4)}. $$

2) Аналогично:

$$ \frac{1}{a(a+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+3}\right), $$
$$ \frac{1}{(a+3)(a+6)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+6}\right), $$
$$ \frac{1}{(a+6)(a+9)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+6}-\frac{1}{a+9}\right), $$
$$ \frac{1}{(a+9)(a+12)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+9}-\frac{1}{a+12}\right). $$

Складываем:

$$ \frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+12}\right) =\frac{1}{3}\cdot \frac{a+12-a}{a(a+12)} =\frac{4}{a(a+12)}. $$