Упр.37.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1/(1•2)+1/(2•3)+?+1/((n-1)•n)=1-1/n.

Разложим каждую дробь на разность двух дробей:

$$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} $$

Тогда

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} = \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right). $$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = 1-\frac{1}{n}. $$

Следовательно,

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac{1}{n} $$

при любом натуральном $n$.

Ответ

$$ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac{1}{n} $$