Упр.37.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.26. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство: $$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\dots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac{1}{n}.$$

Разложим каждую дробь на разность двух дробей:

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

Тогда

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} = \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right).$$

При сложении все промежуточные слагаемые сокращаются:

$$\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = 1-\frac{1}{n}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac{1}{n}$$

при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)\cdot n}=1-\frac{1}{n}$$