Упр.37.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

25. Докажите, что при любом натуральном $$n$$ выполняется равенство $$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$$. Воспользовавшись этим равенством, найдите значение суммы: $$\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+\frac{7}{3^2\cdot4^2}+\frac{9}{4^2\cdot5^2}+\frac{11}{5^2\cdot6^2}.$$

Подробный ответ

Докажем равенство:

$$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{n^2+2n+1-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}.$$

Значит, равенство верно.

Теперь найдём сумму:

$$\frac{3}{1^2\cdot 2^2}+\frac{5}{2^2\cdot 3^2}+\frac{7}{3^2\cdot 4^2}+\frac{9}{4^2\cdot 5^2}+\frac{11}{5^2\cdot 6^2}.$$

По доказанному равенству:

$$\frac{3}{1^2\cdot 2^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2},$$

$$\frac{5}{2^2\cdot 3^2}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2},$$

$$\frac{7}{3^2\cdot 4^2}=\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2},$$

$$\frac{9}{4^2\cdot 5^2}=\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2},$$

$$\frac{11}{5^2\cdot 6^2}=\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}.$$

Тогда сумма равна:

$$\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+\left(\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}\right)+\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}\right).$$

Сокращаем одинаковые слагаемые:

$$1-\frac{1}{6^2}=1-\frac{1}{36}=\frac{35}{36}.$$