Упр.37.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

37. 24. Докажите тождество:
    1) $$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1$$;
    2) $$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c$$.

1) Приведём дроби к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:

$$\frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b) = b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(a^2b-ab^2)-(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2) = ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b).$$

Вынесем общий множитель $$a-b$$:

$$ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b) = (a-b)(ab-ac-bc+c^2).$$

Тогда

$$\frac{(a-b)(ab-ac-bc+c^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{ab-ac-bc+c^2}{(a-c)(b-c)}.$$

Заметим, что

$$ab-ac-bc+c^2=(a-c)(b-c).$$

Следовательно,

$$\frac{(a-c)(b-c)}{(a-c)(b-c)}=1.$$

2) Аналогично приведём дроби к общему знаменателю $$(a-b)(a-c)(b-c)$$:

$$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3.$$

Сгруппируем:

$$(a^3b-ab^3)+(b^3c-a^3c)+(ac^3-bc^3).$$

Вынесем общие множители:

$$ab(a^2-b^2)-c(a^3-b^3)+c^3(a-b).$$

Используем формулы разности квадратов и кубов:

$$ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^2+ab+b^2)+c^3(a-b).$$

Вынесем $$a-b$$:

$$(a-b)\bigl(ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3\bigr).$$

Преобразуем выражение в скобках:

$$ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3 = (a+b+c)(a-c)(b-c).$$

Тогда

$$\frac{(a-b)(a+b+c)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=a+b+c.$$

Ответ

1) $$1$$;
2) $$a+b+c$$.