Упр.37.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) bc/(a-b)(a-c) +ac/(b-a)(b-c) +ab/(c-a)(c-b) =1;
2) a^3/((a-b)(a-c))+b^3/((b-a)(b-c))+c^3/(c-a)(c-b) =a+b+c.

1) Приведём дроби к общему знаменателю $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$:

$$ \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)} = \frac{bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ bc(b-c)-ac(a-c)+ab(a-b) = b^2c-bc^2-a^2c+ac^2+a^2b-ab^2. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ (a^2b-ab^2)-(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2) = ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b). $$

Вынесем общий множитель $$a-b$$:

$$ ab(a-b)-c(a-b)(a+b)+c^2(a-b) = (a-b)(ab-ac-bc+c^2). $$

Тогда

$$ \frac{(a-b)(ab-ac-bc+c^2)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{ab-ac-bc+c^2}{(a-c)(b-c)}. $$

Заметим, что

$$ ab-ac-bc+c^2=(a-c)(b-c). $$

Следовательно,

$$ \frac{(a-c)(b-c)}{(a-c)(b-c)}=1. $$

2) Аналогично приведём дроби к общему знаменателю $$ (a-b)(a-c)(b-c) $$:

$$ \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} = \frac{a^3(b-c)-b^3(a-c)+c^3(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ a^3b-a^3c-ab^3+b^3c+ac^3-bc^3. $$

Сгруппируем:

$$ (a^3b-ab^3)+(b^3c-a^3c)+(ac^3-bc^3). $$

Вынесем общие множители:

$$ ab(a^2-b^2)-c(a^3-b^3)+c^3(a-b). $$

Используем формулы разности квадратов и кубов:

$$ ab(a-b)(a+b)-c(a-b)(a^2+ab+b^2)+c^3(a-b). $$

Вынесем $$a-b$$:

$$ (a-b)\bigl(ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3\bigr). $$

Преобразуем выражение в скобках:

$$ ab(a+b)-c(a^2+ab+b^2)+c^3 = (a+b+c)(a-c)(b-c). $$

Тогда

$$ \frac{(a-b)(a+b+c)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=a+b+c. $$

Ответ

1) $$1$$;
2) $$a+b+c$$.