Упр.37.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) 1/(a-b)(a-c) +1/(b-a)(b-c) +1/(c-a)(c-b) =0;
2) a^2/((a-b)(a-c))+b^2/((b-a)(b-c))+c^2/((c-a)(c-b))=1.

1) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)} $$
$$ =\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}. $$

Тогда

$$ \frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0. $$

Числитель равен

$$ b-c-a+c+a-b=0, $$

значит,

$$ \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0. $$

Следовательно, тождество верно.

2) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)} $$
$$ =\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^2}{(a-b)(b-c)}+\frac{c^2}{(a-c)(b-c)}. $$

Получаем

$$ \frac{a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2. $$

Сгруппируем:

$$ (a^2b-a^2c)+(b^2c-bc^2)-(ab^2-ac^2) $$
$$ =(a-b)(a-c)(b-c). $$

Значит,

$$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ 1)\ 0;\qquad 2)\ 1. $$