Упр.37.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- 37.23. Докажите тождество:
1) $$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0$$;
2) $$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1$$.
1) Приведём дроби к общему знаменателю:
$$\frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}$$
$$=\frac{1}{(a-b)(a-c)}-\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-c)}.$$
Тогда
$$\frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0.$$
Числитель равен
$$b-c-a+c+a-b=0,$$
значит,
$$\frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0.$$
Следовательно, тождество верно.
2) Приведём дроби к общему знаменателю:
$$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}$$
$$=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}-\frac{b^2}{(a-b)(b-c)}+\frac{c^2}{(a-c)(b-c)}.$$
Получаем
$$\frac{a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}.$$
Раскроем скобки в числителе:
$$a^2b-a^2c-ab^2+b^2c+ac^2-bc^2.$$
Сгруппируем:
$$(a^2b-a^2c)+(b^2c-bc^2)-(ab^2-ac^2)$$
$$=(a-b)(a-c)(b-c).$$
Значит,
$$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}=1.$$
Тождество доказано.
Ответ
$$1)\ 0;\qquad 2)\ 1.$$
