Упр.37.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)
- Докажите тождество:
1) $$\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a};$$
2) $$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{2}{2a-1};$$
3) $$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}.$$
$$\frac{a+3}{a^2-3a}+\frac{a-3}{3a+9}+\frac{12}{9-a^2}=\frac{a-3}{3a}$$
Разложим знаменатели на множители:
$$a^2-3a=a(a-3), \quad 3a+9=3(a+3), \quad 9-a^2=-(a-3)(a+3).$$Тогда
$$\frac{a+3}{a(a-3)}+\frac{a-3}{3(a+3)}-\frac{12}{(a-3)(a+3)}.$$Приведём к общему знаменателю $$3a(a-3)(a+3)$$:
$$\frac{3(a+3)^2+a(a-3)^2-36a}{3a(a-3)(a+3)}.$$Раскроем скобки:
$$3(a^2+6a+9)+a(a^2-6a+9)-36a$$
$$=3a^2+18a+27+a^3-6a^2+9a-36a$$
$$=a^3-3a^2-9a+27.$$Разложим числитель на множители:
$$a^3-3a^2-9a+27=a^2(a-3)-9(a-3)=(a-3)(a^2-9).$$Тогда
$$\frac{(a-3)(a^2-9)}{3a(a-3)(a+3)}=\frac{a-3}{3a}.$$$$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{2ab-4-b+8a}=\frac{2}{2a-1}$$
Преобразуем знаменатель второй дроби:
$$2ab-4-b+8a=b(2a-1)+4(2a-1)=(2a-1)(b+4).$$Тогда
$$\frac{b-4}{2a-1}-\frac{b^2-2b-24}{(2a-1)(b+4)}.$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)}{(2a-1)(b+4)}.$$Упростим числитель:
$$(b-4)(b+4)-(b^2-2b-24)=b^2-16-b^2+2b+24=2b+8=2(b+4).$$Получаем:
$$\frac{2(b+4)}{(2a-1)(b+4)}=\frac{2}{2a-1}.$$$$\frac{1}{a^2+12a+36}+\frac{2}{36-a^2}+\frac{1}{a^2-12a+36}=\frac{144}{(a^2-36)^2}$$
Разложим выражения:
$$a^2+12a+36=(a+6)^2,\quad a^2-12a+36=(a-6)^2,\quad 36-a^2=-(a-6)(a+6).$$Тогда левая часть равна
$$\frac{1}{(a+6)^2}-\frac{2}{(a-6)(a+6)}+\frac{1}{(a-6)^2}.$$Приведём к общему знаменателю $$(a-6)^2(a+6)^2$$:
$$\frac{(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2}{(a-6)^2(a+6)^2}.$$Числитель:
$$(a-6)^2-2(a-6)(a+6)+(a+6)^2$$
$$=a^2-12a+36-2(a^2-36)+a^2+12a+36$$
$$=144.$$Значит,
$$\frac{144}{(a-6)^2(a+6)^2}=\frac{144}{(a^2-36)^2}.$$
Ответ
1) $$\frac{a-3}{3a}$$;
2) $$\frac{2}{2a-1}$$;
3) $$\frac{144}{(a^2-36)^2}$$.
