Упр.37.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 37.20. Докажите тождество: (3a^2+24)/(a^3+8)-6/(a^2-2a+4)-1/(a+2)=2/(a+2).

Разложим на множители выражение в первой дроби:

$$a^3+8=(a+2)(a^2-2a+4).$$

Тогда левая часть тождества равна

$$ \frac{3a^2+24}{(a+2)(a^2-2a+4)}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}. $$

Приведём дроби к общему знаменателю $$(a+2)(a^2-2a+4)$$:

$$ \frac{3a^2+24-6(a+2)-(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$

Упростим числитель:

$$ 3a^2+24-6a-12-a^2+2a-4=2a^2-4a+8. $$

Тогда

$$ \frac{2a^2-4a+8}{(a+2)(a^2-2a+4)}= \frac{2(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)}. $$

Сокращаем на $a^2-2a+4$:

$$ \frac{2}{a+2}. $$

Получили правую часть тождества.

Ответ

$$\frac{3a^2+24}{a^3+8}-\frac{6}{a^2-2a+4}-\frac{1}{a+2}=\frac{2}{a+2}.$$