Упр.37.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 37.13. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение данного выражения не зависит от значения переменной:
   1) $$\frac{2x+1}{2x-4}+\frac{2x-1}{6-3x}-\frac{x+7}{6x-12}$$;
   2) $$\frac{24-2a}{a^2-16}-\frac{a}{2a-8}+\frac{4}{a+4}$$.

1) Преобразуем выражение, учитывая, что $$2x-4=2(x-2), \quad 6-3x=-3(x-2), \quad 6x-12=6(x-2).$$ Тогда

$$\frac{2x+1}{2x-4}+\frac{2x-1}{6-3x}-\frac{x+7}{6x-12} = \frac{2x+1}{2(x-2)}-\frac{2x-1}{3(x-2)}-\frac{x+7}{6(x-2)}.$$

Приведём к общему знаменателю $$6(x-2)$$:

$$\frac{3(2x+1)-2(2x-1)-(x+7)}{6(x-2)}.$$

Упростим числитель:

$$3(2x+1)-2(2x-1)-(x+7)=6x+3-4x+2-x-7=x-2.$$

Тогда

$$\frac{x-2}{6(x-2)}=\frac16.$$

При $$x\ne 2$$ значение выражения постоянно и равно $$\frac16$$.

2) Разложим знаменатель на множители:

$$a^2-16=(a-4)(a+4).$$

Тогда

$$\frac{24-2a}{a^2-16}-\frac{a}{2a-8}+\frac{4}{a+4} = \frac{24-2a}{(a-4)(a+4)}-\frac{a}{2(a-4)}+\frac{4}{a+4}.$$

Приведём к общему знаменателю $$2(a-4)(a+4)$$:

$$\frac{2(24-2a)-a(a+4)+4\cdot 2(a-4)}{2(a-4)(a+4)}.$$

Упростим числитель:

$$2(24-2a)-a(a+4)+8(a-4) =48-4a-a^2-4a+8a-32 =-a^2+16.$$

Получаем

$$\frac{-a^2+16}{2(a^2-16)}=-\frac12.$$

При $$a\ne \pm 4$$ значение выражения постоянно и равно $$-\frac12$$.

Ответ

1) $$\frac16$$; 2) $$-\frac12$$.