Упр.36.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 36.31. Докажите, что значение выражения $$999\cdot1001\cdot1002+1001\cdot1003$$ является кубом натурального числа.

Пусть $$1001=n.$$ Тогда

$$999\cdot1001\cdot1002+1001\cdot1003=(n-2)n(n+1)+n(n+2).$$

Вынесем $$n$$ за скобки:

$$(n-2)n(n+1)+n(n+2)=n\bigl((n-2)(n+1)+(n+2)\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$(n-2)(n+1)+(n+2)=n^2-n-2+n+2=n^2.$$

Тогда

$$999\cdot1001\cdot1002+1001\cdot1003=n\cdot n^2=n^3.$$

Так как $$n=1001,$$ получаем:

$$999\cdot1001\cdot1002+1001\cdot1003=1001^3.$$

Следовательно, значение выражения является кубом натурального числа.

Ответ

$$1001^3$$