Упр.36.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 36.27. Числа a, b и c таковы, что значение выражения a+b+c и (ab+bc+ac)/(a+b+c) являются целыми числами. Докажите, что значение выражения (a^2+b^2+c^2)/(a+b+c) также является целым числом. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 36-27 715

Подробный ответ

Известно, что $$a+b+c$$ — целое число и $$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$ — целое число.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} = \frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-2ab-2bc-2ac}{a+b+c} $$

$$ = \frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}{a+b+c} $$

$$ = \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}-\frac{2(ab+bc+ac)}{a+b+c} $$

$$ =(a+b+c)-2\cdot \frac{ab+bc+ac}{a+b+c} $$

Так как $$a+b+c$$ — целое число, а $$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$ — тоже целое число, то и их разность является целым числом.

Следовательно, $$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ — целое число.