Упр.36.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

36. 27. Числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что значения выражений $$a+b+c$$ и $$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$ являются целыми числами. Докажите, что значение выражения $$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ также является целым числом.

Известно, что $$a+b+c$$ — целое число и $$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$ — целое число.

Рассмотрим выражение:

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} = \frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-2ab-2bc-2ac}{a+b+c}$$

$$= \frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}{a+b+c}$$

$$= \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}-\frac{2(ab+bc+ac)}{a+b+c}$$

$$=(a+b+c)-2\cdot \frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$

Так как $$a+b+c$$ — целое число, а $$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$$ — тоже целое число, то и их разность является целым числом.

Следовательно, $$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ — целое число.

Ответ

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ — целое число.