Упр.36.26 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любом натуральном значении $$n$$ значение дроби является целым числом: 1) $$\frac{n^3-2n+1}{n^2+n-1}$$; 2) $$\frac{n^3-4n-3}{n^2-n-3}$$.

1) Преобразуем числитель:

$$n^3-2n+1=n^3+n^2-n-n^2-n+1=n(n^2+n-1)-(n^2+n-1).$$

Тогда

$$\frac{n^3-2n+1}{n^2+n-1} = \frac{n(n^2+n-1)-(n^2+n-1)}{n^2+n-1} = n-1.$$

Значит, при любом натуральном $$n$$ значение дроби — целое число.

2) Аналогично:

$$n^3-4n-3=n^3-n^2-3n+n^2-n-3=n(n^2-n-3)+(n^2-n-3).$$

Тогда

$$\frac{n^3-4n-3}{n^2-n-3} = \frac{n(n^2-n-3)+(n^2-n-3)}{n^2-n-3} = n+1.$$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ значение дроби также является целым числом.

Ответ

1) $$n-1$$; 2) $$n+1$$.