Упр.36.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 36.25. При каких целых значениях $$n$$ значение дроби является целым числом: 1) $$\frac{2n^2+7n-4}{n+3}$$; 2) $$\frac{4n^2-11n+23}{n-2}$$?

1) Преобразуем дробь:

$$\frac{2n^2+7n-4}{n+3} = \frac{2n^2+6n+n-4}{n+3} = \frac{2n(n+3)}{n+3}+\frac{n-4}{n+3}$$

$$=2n+\frac{n+3-7}{n+3} =2n+1-\frac{7}{n+3}.$$

Чтобы значение дроби было целым числом, число $$\frac{7}{n+3}$$ должно быть целым. Значит, $$n+3$$ — делитель числа $$7$$.

Делители числа $$7$$: $$-1, 1, -7, 7$$.

Тогда:

$$n+3=-1 \Rightarrow n=-4,\quad n+3=1 \Rightarrow n=-2,\quad n+3=-7 \Rightarrow n=-10,\quad n+3=7 \Rightarrow n=4.$$

Все найденные значения целые и не обращают знаменатель в нуль.

2) Преобразуем дробь:

$$\frac{4n^2-11n+23}{n-2} = \frac{4n^2-8n-3n+23}{n-2} = \frac{4n(n-2)}{n-2}-\frac{3n-23}{n-2}$$

$$=4n-\frac{3n-6-17}{n-2} =4n-3-\frac{17}{n-2}.$$

Чтобы значение дроби было целым числом, число $$\frac{17}{n-2}$$ должно быть целым. Значит, $$n-2$$ — делитель числа $$17$$.

Делители числа $$17$$: $$-1, 1, -17, 17$$.

Тогда:

$$n-2=-1 \Rightarrow n=1,\quad n-2=1 \Rightarrow n=3,\quad n-2=-17 \Rightarrow n=-15,\quad n-2=17 \Rightarrow n=19.$$

Все найденные значения целые и не обращают знаменатель в нуль.

Ответ

1) $$n=-10,\,-4,\,-2,\,4$$; 2) $$n=-15,\,1,\,3,\,19$$.