Упр.36.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) (n^2+n+1)/(n+1); 2) (n^3-2n^2+n-1)/(n^2+1).

1. $$\frac{n^2+n+1}{n+1}=\frac{n(n+1)+1}{n+1}=n+\frac{1}{n+1}.$$

   Чтобы это выражение было целым числом, дробь $$\frac{1}{n+1}$$ должна быть целым числом. Значит, число $$n+1$$ должно делить число $$1$$.

   Но делителями числа $$1$$ являются только $$1$$ и $$-1$$. Тогда:
   $$n+1=1 \quad \text{или} \quad n+1=-1.$$
   Отсюда
   $$n=0 \quad \text{или} \quad n=-2.$$

   Оба значения не являются натуральными. Следовательно, при любом натуральном $$n$$ значение дроби не является целым числом.

2. $$\frac{n^3-2n^2+n-1}{n^2+1}=\frac{n(n^2+1)-(2n^2+1)}{n^2+1}=n-\frac{2n^2+1}{n^2+1}.$$

   Представим числитель дроби так:
   $$2n^2+1=2(n^2+1)-1.$$
   Тогда
   $$\frac{n^3-2n^2+n-1}{n^2+1}=n-\frac{2(n^2+1)-1}{n^2+1}=n-2+\frac{1}{n^2+1}.$$

   Чтобы выражение было целым числом, дробь $$\frac{1}{n^2+1}$$ должна быть целым числом. Значит, $$n^2+1$$ должно делить число $$1$$.

   Тогда
   $$n^2+1=1 \quad \text{или} \quad n^2+1=-1.$$
   Но из первого равенства получаем $$n^2=0$$, то есть $$n=0$$, а из второго — $$n^2=-2$$, что невозможно.

   Следовательно, при любом натуральном $$n$$ значение данной дроби не является целым числом.

Ответ

1) Не является целым числом при любом натуральном $$n$$. 2) Не является целым числом при любом натуральном $$n$$.