Упр.36.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

36. 17. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6}$$ принимает отрицательные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6} = \frac{2-b^2-(7-3b)+7b-20}{(b-5)^6}$$

Упростим числитель:

$$2-b^2-7+3b+7b-20=-b^2+10b-25$$

Тогда

$$\frac{-b^2+10b-25}{(b-5)^6} = -\frac{b^2-10b+25}{(b-5)^6} = -\frac{(b-5)^2}{(b-5)^6} = -\frac{1}{(b-5)^4}$$

При допустимых значениях переменной $$b \ne 5$$ знаменатель $$(b-5)^4$$ положителен, значит

$$-\frac{1}{(b-5)^4}<0.$$

Следовательно, при всех допустимых значениях переменной данное выражение принимает отрицательные значения.

Ответ

$$-\frac{1}{(b-5)^4}<0,\quad b\ne 5.$$