Упр.36.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 36.17. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение (2-b^2)/(b-5)^6 -(7-3b)/(b-5)^6 +(7b-20)/(b-5)^6 принимает отрицательные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{2-b^2}{(b-5)^6}-\frac{7-3b}{(b-5)^6}+\frac{7b-20}{(b-5)^6} = \frac{2-b^2-(7-3b)+7b-20}{(b-5)^6} $$

Упростим числитель:

$$ 2-b^2-7+3b+7b-20=-b^2+10b-25 $$

Тогда

$$ \frac{-b^2+10b-25}{(b-5)^6} = -\frac{b^2-10b+25}{(b-5)^6} = -\frac{(b-5)^2}{(b-5)^6} = -\frac{1}{(b-5)^4} $$

При допустимых значениях переменной $$b \ne 5$$ знаменатель $$ (b-5)^4 $$ положителен, значит

$$ -\frac{1}{(b-5)^4}<0. $$

Следовательно, при всех допустимых значениях переменной данное выражение принимает отрицательные значения.

Ответ

$$-\frac{1}{(b-5)^4}<0,\quad b\ne 5.$$