Упр.36.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 36.16. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $$\frac{a^2-6}{(a-2)^4}-\frac{7a-4}{(a-2)^4}+\frac{3a+6}{(a-2)^4}$$ принимает положительные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{a^2-6}{(a-2)^4}-\frac{7a-4}{(a-2)^4}+\frac{3a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-6-(7a-4)+3a+6}{(a-2)^4}.$$

Упростим числитель:

$$a^2-6-7a+4+3a+6=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Тогда

$$\frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}=\frac{1}{(a-2)^2}.$$

При допустимых значениях переменной $$a \ne 2$$, поэтому $$(a-2)^2>0$$ и, следовательно,

$$\frac{1}{(a-2)^2}>0.$$

Значит, при всех допустимых значениях переменной данное выражение принимает положительные значения.

Ответ

$$\frac{1}{(a-2)^2}>0,\quad a\ne 2.$$