Упр.36.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 36.16. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение (a^2-6)/(a-2)^4 -(7a-4)/(a-2)^4 +(3a+6)/(a-2)^4 принимает положительные значения.

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{a^2-6}{(a-2)^4}-\frac{7a-4}{(a-2)^4}+\frac{3a+6}{(a-2)^4} = \frac{a^2-6-(7a-4)+3a+6}{(a-2)^4}. $$

Упростим числитель:

$$ a^2-6-7a+4+3a+6=a^2-4a+4=(a-2)^2. $$

Тогда

$$ \frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}=\frac{1}{(a-2)^2}. $$

При допустимых значениях переменной $$a \ne 2$$, поэтому $$ (a-2)^2>0 $$ и, следовательно,

$$ \frac{1}{(a-2)^2}>0. $$

Значит, при всех допустимых значениях переменной данное выражение принимает положительные значения.

Ответ

$$\frac{1}{(a-2)^2}>0,\quad a\ne 2.$$