Упр.35.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. Какое наименьшее значение и при каких значениях $$a$$ и $$b$$ принимает выражение $$(a-2)(a+2)+4b(b-a)$$?

Преобразуем выражение:

$$(a-2)(a+2)+4b(b-a)=a^2-4+4b^2-4ab.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^2-4ab+4b^2-4=(a-2b)^2-4.$$

Так как $$(a-2b)^2 \ge 0$$ при любых значениях $$a$$ и $$b$$, то

$$(a-2b)^2-4 \ge -4.$$

Значит, наименьшее значение выражения равно $$-4$$. Оно достигается, когда

$$a-2b=0,$$

то есть при

$$a=2b.$$

Ответ

Наименьшее значение равно $$-4$$ при $$a=2b$$.