Упр.35.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 35.39. Какое наименьшее значение и при каких значениях a и b принимает выражение (a-2)(a+2)+4b(b-a)?

Преобразуем выражение:

$$ (a-2)(a+2)+4b(b-a)=a^2-4+4b^2-4ab. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ a^2-4ab+4b^2-4=(a-2b)^2-4. $$

Так как $$ (a-2b)^2 \ge 0 $$ при любых значениях $$a$$ и $$b$$, то

$$ (a-2b)^2-4 \ge -4. $$

Значит, наименьшее значение выражения равно $$-4$$. Оно достигается, когда

$$ a-2b=0, $$

то есть при

$$ a=2b. $$

Ответ

Наименьшее значение равно $$-4$$ при $$a=2b$$.