Упр.35.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

35. 37. Разложите на множители многочлен $$a^8+a^6+a^4+a^2+1$$.

Представим многочлен как сумму с геометрической прогрессией:

$$a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{(a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)}{a^2-1}.$$

Тогда в числителе получим разность квадратов:

$$(a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)=a^{10}-1.$$

Значит,

$$a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{a^{10}-1}{a^2-1}.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$a^{10}-1=(a^5-1)(a^5+1), \qquad a^2-1=(a-1)(a+1).$$

Тогда

$$a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{(a^5-1)(a^5+1)}{(a-1)(a+1)}.$$

Далее используем формулы разности и суммы степеней:

$$a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1),$$
$$a^5+1=(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1).$$

После сокращения получаем:

$$a^8+a^6+a^4+a^2+1=(a^4+a^3+a^2+a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1).$$

Ответ

$$(a^4+a^3+a^2+a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$$