Упр.35.37 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 35.37. Разложите на множители многочлен a^8+a^6+a^4+a^2+1.

Представим многочлен как сумму с геометрической прогрессией:

$$a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{(a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)}{a^2-1}.$$

Тогда в числителе получим разность квадратов:

$$ (a^2-1)(a^8+a^6+a^4+a^2+1)=a^{10}-1. $$

Значит,

$$ a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{a^{10}-1}{a^2-1}. $$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$ a^{10}-1=(a^5-1)(a^5+1), \qquad a^2-1=(a-1)(a+1). $$

Тогда

$$ a^8+a^6+a^4+a^2+1=\frac{(a^5-1)(a^5+1)}{(a-1)(a+1)}. $$

Далее используем формулы разности и суммы степеней:

$$ a^5-1=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1), $$
$$ a^5+1=(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1). $$

После сокращения получаем:

$$ a^8+a^6+a^4+a^2+1=(a^4+a^3+a^2+a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1). $$

Ответ

$$ (a^4+a^3+a^2+a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1) $$