Упр.35.36 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 35.36. Сократите дробь $$\frac{x^5+x+1}{x^2+x+1}$$.

Преобразуем числитель, чтобы выделить множитель $$x^2+x+1$$:

$$\frac{x^5+x+1}{x^2+x+1} = \frac{x^5-x^2+x^2+x+1}{x^2+x+1} = \frac{(x^5-x^2)+(x^2+x+1)}{x^2+x+1}.$$

Вынесем общий множитель в первой скобке:

$$x^5-x^2=x^2(x^3-1)=x^2(x-1)(x^2+x+1).$$

Тогда

$$\frac{x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)}{x^2+x+1} = \frac{(x^2+x+1)\bigl(x^2(x-1)+1\bigr)}{x^2+x+1}.$$

Сокращаем на $$x^2+x+1$$:

$$x^2(x-1)+1=x^3-x^2+1.$$

Ответ

$$x^3-x^2+1$$