Упр.35.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 35.33. Для положительных чисел a, b и c выполняется равенство a/(b+c+d)=b/(a+c+d)=c/(a+b+d)=d/(a+b+c). Найдите значение выражения (a+b+c)/d+(a+b+d)/c+(a+c+d)/b+(b+c+d)/a. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 35-34 715

Подробный ответ

Обозначим

$$\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=k.$$

Тогда

$$a=k(b+c+d),\quad b=k(a+c+d),\quad c=k(a+b+d),\quad d=k(a+b+c).$$

Сложим все равенства:

$$a+b+c+d=k\bigl((b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)\bigr).$$

$$a+b+c+d=k\cdot 3(a+b+c+d).$$

Так как числа положительные, то $$a+b+c+d\neq 0$$, значит

$$k=\frac13.$$

Следовательно,

$$\frac{a+b+c}{d}=\frac{1}{\frac{d}{a+b+c}}=3,$$