Упр.35.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

35. Для положительных чисел $$a$$, $$b$$ и $$c$$ выполняется равенство $$\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}$$. Найдите значение выражения $$\frac{a+b+c}{d}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{b+c+d}{a}$$.

Обозначим

$$\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=k.$$

Тогда

$$a=k(b+c+d),\quad b=k(a+c+d),\quad c=k(a+b+d),\quad d=k(a+b+c).$$

Сложим все равенства:

$$a+b+c+d=k\bigl((b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c)\bigr).$$

$$a+b+c+d=k\cdot 3(a+b+c+d).$$

Так как числа положительные, то $$a+b+c+d\neq 0$$, значит

$$k=\frac13.$$

Следовательно,

$$\frac{a+b+c}{d}=\frac{1}{\frac{d}{a+b+c}}=3,$$

аналогично

$$\frac{a+b+d}{c}=3,\quad \frac{a+c+d}{b}=3,\quad \frac{b+c+d}{a}=3.$$

Тогда искомое выражение равно

$$\frac{a+b+c}{d}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{b+c+d}{a}=3+3+3+3=12.$$

Ответ

$$12$$