Упр.35.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 35.33. Для положительных чисел $$a$$, $$b$$ и $$c$$ выполняется равенство $$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}$$. Найдите значение выражения $$\frac{(a+b)^2}{c^2}+\frac{(a+c)^2}{b^2}+\frac{(b+c)^2}{a^2}$$.

Из условия

$$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}.$$

Обозначим это общее значение через $$k$$. Тогда

$$a=k(b+c), \quad b=k(a+c), \quad c=k(a+b).$$

Сложим эти равенства:

$$a+b+c=k\bigl((b+c)+(a+c)+(a+b)\bigr)=2k(a+b+c).$$

Так как $$a,b,c>0$$, то $$a+b+c\neq 0$$, значит

$$1=2k,\quad k=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac12,$$

откуда

$$\frac{b+c}{a}=2,\quad \frac{a+c}{b}=2,\quad \frac{a+b}{c}=2.$$

Тогда искомое выражение равно

$$\frac{(a+b)^2}{c^2}+\frac{(a+c)^2}{b^2}+\frac{(b+c)^2}{a^2}$$

$$=\left(\frac{a+b}{c}\right)^2+\left(\frac{a+c}{b}\right)^2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2$$

$$=2^2+2^2+2^2=12.$$

Ответ

$$12$$