Упр.35.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 35.32. Известно, что $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}$$. Докажите, что $$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=\frac{x_1}{x_4}$$.

Обозначим

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}=k.$$

Тогда

$$x_1=kx_2,\qquad x_2=kx_3,\qquad x_3=kx_4.$$

Из равенства $$\frac{x_2}{x_3}=k$$ получаем $$x_2=kx_3$$, а из $$\frac{x_3}{x_4}=k$$ имеем $$x_4=\frac{x_3}{k}.$$

Найдём отношение:

$$\frac{x_1}{x_4}=\frac{kx_2}{x_3/k}=k\cdot x_2\cdot \frac{k}{x_3}=k^2\cdot \frac{x_2}{x_3}=k^2\cdot k=k^3.$$

С другой стороны, по свойству пропорции для трёх последовательных отношений:

$$\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}=k.$$

Тогда

$$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=k^3.$$

Но $$k^3=\frac{x_1}{x_4}$$, значит

$$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=\frac{x_1}{x_4}.$$

Ответ

$$\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3=\frac{x_1}{x_4}.$$