Упр.35.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

35. 28. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби:
    1) $$\frac{x-1}{x^3-x^2+2x-2}$$ положительное;
    2) $$\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2+x-2}$$ неотрицательное;
    3) $$\frac{x^2-1}{4-3x^2-x^4}$$ отрицательное.

1. $$\frac{x-1}{x^3-x^2+2x-2}=\frac{x-1}{x^2(x-1)+2(x-1)}=\frac{x-1}{(x-1)(x^2+2)}=\frac{1}{x^2+2}.$$

   При всех допустимых значениях переменной $$x^2+2>0$$, значит
   $$\frac{1}{x^2+2}>0.$$

2. $$\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2+x-2}=\frac{(x-2)^3}{x^2(x-2)+(x-2)}=\frac{(x-2)^3}{(x-2)(x^2+1)}=\frac{(x-2)^2}{x^2+1}.$$

   Так как $$\,(x-2)^2\ge 0$$ и $$x^2+1>0$$, то
   $$\frac{(x-2)^2}{x^2+1}\ge 0.$$

3. $$\frac{x^2-1}{4-3x^2-x^4}=\frac{x^2-1}{-(x^4+3x^2-4)}.$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^4+3x^2-4=(x^2-1)(x^2+4).$$
   Тогда
   $$4-3x^2-x^4=-(x^2-1)(x^2+4).$$

   Следовательно,
   $$\frac{x^2-1}{4-3x^2-x^4}=\frac{x^2-1}{-(x^2-1)(x^2+4)}=-\frac{1}{x^2+4}.$$

   Поскольку $$x^2+4>0$$, получаем
   $$-\frac{1}{x^2+4}<0.$$

Ответ

1) положительное; 2) неотрицательное; 3) отрицательное.