Упр.35.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 35.27. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение дроби: 1) $$\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}$$ неотрицательное; 2) $$\frac{2x-4}{x^3-2x^2+x-2}$$ положительное; 3) $$\frac{(x-1)^3}{x^3-x^2+4x-4}$$ неотрицательное; 4) $$\frac{x^2-4}{12+x^2-x^4}$$ отрицательное.

1. $$\frac{a^3-a^2-a+1}{a^3+a^2+a+1}=\frac{a^2(a-1)-(a-1)}{a^2(a+1)+(a+1)}=\frac{(a-1)(a^2-1)}{(a+1)(a^2+1)}$$

   $$\frac{(a-1)(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2+1)}=\frac{(a-1)^2}{a^2+1}\ge 0$$

   При всех допустимых значениях переменной $$a^2+1>0$$, а $$(a-1)^2\ge 0$$.

2. $$\frac{2x-4}{x^3-2x^2+x-2}=\frac{2(x-2)}{x^2(x-2)+(x-2)}=\frac{2(x-2)}{(x-2)(x^2+1)}$$

   $$\frac{2}{x^2+1}>0$$

   При всех допустимых значениях переменной $$x^2+1>0$$.

3. $$\frac{(x-1)^3}{x^3-x^2+4x-4}=\frac{(x-1)^3}{x^2(x-1)+4(x-1)}=\frac{(x-1)^3}{(x-1)(x^2+4)}$$

   $$\frac{(x-1)^2}{x^2+4}\ge 0$$

   Так как $$(x-1)^2\ge 0$$, а $$x^2+4>0$$.

4. $$\frac{x^2-4}{12+x^2-x^4}=\frac{x^2-4}{x^2-4-x^4+16}=\frac{x^2-4}{(x^2-4)-(x^4-16)}$$

   $$\frac{x^2-4}{(x^2-4)(1-x^2-4)}=\frac{1}{-x^2-3}=-\frac{1}{x^2+3}<0$$

   При всех допустимых значениях переменной $$x^2+3>0$$, значит дробь отрицательна.

Ответ

1) неотрицательное; 2) положительное; 3) неотрицательное; 4) отрицательное.