Упр.344 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- Трамвайные билеты имеют номера от $$000\,000$$ до $$999\,999$$. Номер называют «счастливым», если сумма трёх его первых цифр равна сумме трёх последних. Докажите, что количество «счастливых» билетов чётно.
- Докажите, что:
1) сумма чисел $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$ кратна $$111$$;
2) разность числа $$abc$$ и суммы его цифр делится нацело на $$9$$.
1) Разобьём все «счастливые» билеты на пары, переставляя в номере первые три цифры с последними тремя. Например, билетам $$239671$$ и $$671239$$ соответствует одна и та же сумма трёх первых и трёх последних цифр.
Если номер билета имеет вид $$abcxyz$$ и он «счастливый», то билет $$xyzabc$$ тоже «счастливый». Такие два билета образуют пару. Исключение составляют билеты, у которых первые три цифры совпадают с последними тремя, то есть номера вида $$abcabc$$.
Число таких билетов равно числу троек цифр $$abc$$, то есть $$1000$$. Это число чётно. Все остальные «счастливые» билеты разбиваются на пары, значит, общее количество «счастливых» билетов тоже чётно.
2) Пусть число $$abc$$ означает трёхзначное число с цифрами $$a, b, c$$. Тогда
$$abc=100a+10b+c.$$
Сложим числа $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$:
$$abc+bca+cab=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)$$
$$=111a+111b+111c=111(a+b+c).$$
Следовательно, сумма чисел $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$ кратна $$111$$.
3) Найдём разность числа $$abc$$ и суммы его цифр:
$$abc-(a+b+c)=100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b).$$
Значит, эта разность делится нацело на $$9$$.
Ответ
1) Количество «счастливых» билетов чётно.
2) $$abc+bca+cab$$ кратна $$111$$.
3) $$abc-(a+b+c)$$ делится нацело на $$9$$.
