Упр.341 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
- В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам $$7$$, $$11$$ и $$13$$.
- Докажите, что:
1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на $$5$$;
2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на $$6$$;
3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на $$8$$;
4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на $$4$$;
5) остаток от деления на $$6$$ суммы шести последовательных натуральных чисел равен $$3$$.
Пусть шестизначное число имеет вид $$abcabc$$, где $$a, b, c$$ — цифры.
Тогда
$$abcabc=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c$$
$$abcabc=100100a+10010b+1001c=1001(100a+10b+c).$$
Так как $$1001=7\cdot 11\cdot 13$$, то число $$abcabc$$ делится на $$7$$, $$11$$ и $$13$$.
Сумма пяти последовательных натуральных чисел:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2).$$
Следовательно, эта сумма делится нацело на $$5$$.
Сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел:
$$2n+(2n+2)+(2n+4)=6n+6=6(n+1).$$
Значит, эта сумма делится нацело на $$6$$.
Сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел:
$$(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16=8(n+2).$$
Следовательно, эта сумма делится нацело на $$8$$.
Сумма четырёх последовательных натуральных чисел:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6.$$
Число $$4n+6$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$2$$, значит, эта сумма не делится нацело на $$4$$.
Сумма шести последовательных натуральных чисел:
$$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)=6n+15.$$
При делении на $$6$$ имеем:
$$6n+15=6n+12+3=6(n+2)+3.$$
Значит, остаток от деления этой суммы на $$6$$ равен $$3$$.
Ответ
1) делится на $$5$$; 2) делится на $$6$$; 3) делится на $$8$$; 4) не делится на $$4$$; 5) остаток равен $$3$$.
