Упр.34.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 34.6. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной $$x$$ значение дроби:
   1) $$\frac{x^2+1}{6x-9-x^2}$$ отрицательное;
   2) $$\frac{2}{x^2+2x+2}$$ положительное;
   3) $$\frac{1}{2x-x^2-2}$$ отрицательное;
   4) $$\frac{x^2+6x+9}{x^2+x+1}$$ неотрицательное.

1. $$\frac{x^2+1}{6x-9-x^2}=\frac{x^2+1}{-(x^2-6x+9)}=-\frac{x^2+1}{(x-3)^2}.$$
   Числитель $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, а знаменатель $$(x-3)^2>0$$ при всех допустимых значениях $$x$$, то есть при $$x\ne 3$$. Значит, дробь отрицательна.

2. $$\frac{2}{x^2+2x+2}=\frac{2}{(x+1)^2+1}.$$
   Так как $$2>0$$, а $$(x+1)^2+1>0$$ при любых $$x$$, то дробь положительна.

3. $$\frac{1}{2x-x^2-2}=\frac{1}{-(x^2-2x+2)}=-\frac{1}{(x-1)^2+1}.$$
   Поскольку $$(x-1)^2+1>0$$ при любых $$x$$, дробь отрицательна.

4. $$\frac{x^2+6x+9}{x^2+x+1}=\frac{(x+3)^2}{x^2+x+1}.$$
   Числитель $$(x+3)^2\ge 0$$ при любых $$x$$. Знаменатель
   $$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$$
   при любых $$x$$. Следовательно, дробь неотрицательна.

Ответ

1) отрицательное; 2) положительное; 3) отрицательное; 4) неотрицательное.