Упр.33.55 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 33.55. Докажите тождество (a-bc)^2-2(b^2 c^2-a^2 )+(bc+a)^2=4a^2.

Преобразуем левую часть тождества:

$$ (a-bc)^2-2(b^2c^2-a^2)+(bc+a)^2 $$

Так как $$b^2c^2-a^2=(bc-a)(bc+a),$$ получаем:

$$ (a-bc)^2-2(bc-a)(bc+a)+(bc+a)^2 $$

Заметим, что $$a-bc=-(bc-a),$$ поэтому

$$ (bc-a)^2-2(bc-a)(bc+a)+(bc+a)^2 $$

Это квадрат разности:

$$ \bigl((bc-a)-(bc+a)\bigr)^2 $$

$$ =(-2a)^2=4a^2 $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ (a-bc)^2-2(b^2c^2-a^2)+(bc+a)^2=4a^2 $$