Упр.33.54 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 33.54. Докажите, что при любом целом значении $$a$$ значение выражения $$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$$ делится нацело на $$3$$.

Упростим выражение:

$$(a-3)(a^2-a+2)-a(a-2)^2+2a$$

Раскроем скобки:

$$(a-3)(a^2-a+2)=a^3-a^2+2a-3a^2+3a-6=a^3-4a^2+5a-6$$

$$a(a-2)^2=a(a^2-4a+4)=a^3-4a^2+4a$$

Тогда

$$(a^3-4a^2+5a-6)-(a^3-4a^2+4a)+2a=3a-6=3(a-2)$$

Следовательно, при любом целом значении $$a$$ данное выражение делится нацело на $$3$$.

Ответ

$$3(a-2)$$, значит выражение делится нацело на $$3$$.