Упр.33.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

33. 35. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на $$3\ \text{см}$$, то его площадь увеличится на $$45\ \text{см}^2$$. Если две противоположные стороны увеличить на $$4\ \text{см}$$, а две другие уменьшить на $$5\ \text{см}$$, то его площадь уменьшится на $$17\ \text{см}^2$$. Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см. Тогда его площадь равна $$ab$$.

Если каждую сторону увеличить на $$3$$ см, получим прямоугольник со сторонами $$a+3$$ и $$b+3$$. По условию его площадь увеличится на $$45$$ см², значит:

$$(a+3)(b+3)=ab+45$$

Если две противоположные стороны увеличить на $$4$$ см, а две другие уменьшить на $$5$$ см, то получим стороны $$a+4$$ и $$b-5$$. Площадь уменьшится на $$17$$ см², значит:

$$(a+4)(b-5)=ab-17$$

Раскроем скобки:

$$\begin{aligned} ab+3a+3b+9&=ab+45,\\ ab-5a+4b-20&=ab-17. \end{aligned}$$

Сократим на $$ab$$:

$$\begin{aligned} 3a+3b&=36,\\ -5a+4b&=3. \end{aligned}$$

Из первого уравнения:

$$a+b=12.$$

Подставим $$a=12-b$$ во второе уравнение:

$$-5(12-b)+4b=3$$

$$-60+5b+4b=3$$

$$9b=63$$

$$b=7$$

Тогда

$$a=12-7=5.$$

Следовательно, стороны прямоугольника равны $$5$$ см и $$7$$ см.

Ответ

$$5$$ см и $$7$$ см.