Упр.32.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 32.23. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=15,\\[2pt]\frac{3}{x}+\frac{8}{y}=23;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}\frac{5}{2x-3y}+\frac{10}{3x-2y}=3,\\[2pt]\frac{20}{3x-2y}-\frac{15}{2x-3y}=1.\end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{y}=15,\\ \dfrac{3}{x}+\dfrac{8}{y}=23. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе — на $$2$$:

   $$\begin{cases} \dfrac{6}{x}+\dfrac{15}{y}=45,\\ \dfrac{6}{x}+\dfrac{16}{y}=46. \end{cases}$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$\dfrac{1}{y}=1 \quad \Rightarrow \quad y=1.$$

   Подставим $$y=1$$ в первое уравнение:

   $$\dfrac{2}{x}+5=15,$$
   $$\dfrac{2}{x}=10,$$
   $$x=0{,}2.$$

   Получаем:

   $$(x;y)=(0{,}2;1).$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} \dfrac{5}{2x-3y}+\dfrac{10}{3x-2y}=3,\\ \dfrac{20}{3x-2y}-\dfrac{15}{2x-3y}=1. \end{cases}$$

   Обозначим:

   $$a=\dfrac{5}{2x-3y}, \qquad b=\dfrac{10}{3x-2y}.$$

   Тогда система примет вид:

   $$\begin{cases} a+b=3,\\ -3a+2b=1. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$:

   $$\begin{cases} 3a+3b=9,\\ -3a+2b=1. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$5b=10 \quad \Rightarrow \quad b=2.$$

   Тогда

   $$a=3-2=1.$$

   Возвращаемся к переменным $$x$$ и $$y$$:

   $$\dfrac{5}{2x-3y}=1 \quad \Rightarrow \quad 2x-3y=5,$$

   $$\dfrac{10}{3x-2y}=2 \quad \Rightarrow \quad 3x-2y=5.$$

   Решим систему:

   $$\begin{cases} 2x-3y=5,\\ 3x-2y=5. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:

   $$\begin{cases} 6x-9y=15,\\ 6x-4y=10. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$-5y=5 \quad \Rightarrow \quad y=-1.$$

   Подставим в уравнение $$2x-3y=5$$:

   $$2x+3=5,$$
   $$2x=2,$$
   $$x=1.$$

   Получаем:

   $$(x;y)=(1;-1).$$

Ответ

1) $$(0{,}2;1)$$; 2) $$(1;-1)$$.