Упр.32.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (x+y)^2+(x-3)^2=0;
2) (x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0;
3) |x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0;
4) x^2+y^2+10x-12y+61=0;
5) 25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0.

Подробный ответ

$$ (x+y)^2+(x-3)^2=0 $$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$ \begin{cases} x+y=0,\\ x-3=0. \end{cases} $$
Отсюда $$x=3$$, тогда $$y=-3$$.
$$ (x+2y-3)^2+x^2-4xy+4y^2=0 $$
Заметим, что
$$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2.$$
Тогда
$$ (x+2y-3)^2+(x-2y)^2=0. $$
Следовательно,
$$ \begin{cases} x+2y-3=0,\\ x-2y=0. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$2x=3,\quad x=1{,}5.$$
Тогда $$1{,}5-2y=0$$, значит $$y=0{,}75$$.
$$ |x-3y-6|+(9x+6y-32)^2=0 $$
Сумма неотрицательных выражений равна нулю, если каждое из них равно нулю:
$$ \begin{cases} x-3y-6=0,\\ 9x+6y-32=0. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$ \begin{cases} 2x-6y=12,\\ 9x+6y=32. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$11x=44,\quad x=4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4-3y-6=0,\quad 3y=-2,\quad y=-\frac{2}{3}.$$
$$ x^2+y^2+10x-12y+61=0 $$
Выделим полные квадраты:
$$ (x^2+10x+25)+(y^2-12y+36)=0. $$
Тогда
$$ (x+5)^2+(y-6)^2=0. $$
Следовательно,
$$ \begin{cases} x+5=0,\\ y-6=0. \end{cases} $$
Отсюда $$x=-5$$, $$y=6$$.
$$ 25x^2+10y^2-30xy+8y+16=0 $$
Сгруппируем слагаемые:
$$ (25x^2-30xy+9y^2)+(y^2+8y+16)=0. $$
Получаем:
$$ (5x-3y)^2+(y+4)^2=0. $$
Значит,
$$ \begin{cases} 5x-3y=0,\\ y+4=0. \end{cases} $$
Тогда $$y=-4$$, а из первого уравнения $$5x-3(-4)=0$$, то есть $$5x=-12$$, $$x=-2{,}4$$.