Упр.30.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 30.25. Остаток при делении числа $$a$$ на 5 равен 4, а остаток при делении на 5 числа $$b$$ равен 3. Докажите, что значение выражения $$a^2+b^2$$ кратно 5.

Так как остаток при делении числа $$a$$ на $$5$$ равен $$4$$, а остаток при делении числа $$b$$ на $$5$$ равен $$3$$, то

$$a=5m+4,\quad b=5n+3,$$

где $$m$$ и $$n$$ — целые числа.

Тогда

$$a^2+b^2=(5m+4)^2+(5n+3)^2$$

$$=25m^2+40m+16+25n^2+30n+9$$

$$=25m^2+25n^2+40m+30n+25$$

$$=5(5m^2+5n^2+8m+6n+5).$$

Следовательно, $$a^2+b^2$$ кратно $$5$$.

Ответ

$$a^2+b^2$$ кратно $$5$$.