Упр.30.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

30.17. Подберите такие значения $$m$$ и $$n$$, при которых система уравнений $$\begin{cases} x+y=5,\\ 3x-my=n \end{cases}$$: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений.

Преобразуем первое уравнение системы, умножив его на $$3$$:

$$\begin{cases} x+y=5 \\ 3x-my=n \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3x+3y=15 \\ 3x-my=n \end{cases}$$

Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны совпадать. Тогда коэффициенты при $$y$$ и свободные члены должны быть равны:

$$-m=3,\quad n=15$$

Отсюда:

$$m=-3,\quad n=15$$

Чтобы система имела единственное решение, прямые не должны быть параллельны. Это происходит, когда коэффициенты при $$y$$ различны:

$$-m\ne 3 \quad \Rightarrow \quad m\ne -3$$

При любом $$n$$ система тогда имеет единственное решение.

Чтобы система не имела решений, уравнения должны быть параллельны, но не совпадать:

$$-m=3,\quad n\ne 15$$

То есть:

$$m=-3,\quad n\ne 15$$

Ответ

1) $$m=-3,\ n=15$$;

2) $$m\ne -3$$, $$n$$ — любое число;

3) $$m=-3,\ n\ne 15$$.