Упр.30.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 30.17. Подберите такие значения $$a$$ и $$b$$, при которых система уравнений $$\begin{cases} x-2y=3,\\ ax+4y=b \end{cases}$$: 1) имеет бесконечно много решений; 2) имеет единственное решение; 3) не имеет решений.

Преобразуем первое уравнение системы:

$$x-2y=3$$

Умножим его на $$-2$$:

$$-2x+4y=-6$$

Тогда система принимает вид:

$$\begin{cases} -2x+4y=-6,\\ ax+4y=b. \end{cases}$$

Сравним коэффициенты при $$x$$ и $$y$$.

1) Чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны совпадать. Тогда

$$a=-2,\quad b=-6.$$

2) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Это будет при

$$a\ne -2.$$

При любом $$b$$ система тогда имеет единственное решение.

3) Чтобы система не имела решений, уравнения должны быть параллельны, но не совпадать. Значит, коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$a=-2,\quad b\ne -6.$$

Ответ

1) $$a=-2,\ b=-6$$;

2) $$a\ne -2$$, $$b$$ — любое число;

3) $$a=-2,\ b\ne -6$$.