Упр.29.52 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

29.52. Докажите, что значение выражения $$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98}$$ кратно числу: 1) 15; 2) 240.

$$2^{36}+4^{100}-2^{32}-4^{98}=(2^{36}-2^{32})+(4^{100}-4^{98})$$
$$=2^{32}(2^4-1)+4^{98}(4^2-1)=2^{32}\cdot 15+4^{98}\cdot 15$$
$$=15\,(2^{32}+4^{98}).$$

1) Так как выражение представлено в виде произведения на $$15$$, то оно кратно $$15$$.

2) Преобразуем дальше:
$$15\,(2^{32}+4^{98})=15\,(2^{32}+(2^2)^{98})=15\,(2^{32}+2^{196})$$
$$=15\cdot 2^{32}(1+2^{164})=15\cdot 2^4\,(2^{28}+2^{192})$$
$$=240\,(2^{28}+2^{192}).$$

Значит, данное выражение кратно $$240$$.

Ответ

1) кратно $$15$$; 2) кратно $$240$$.