Упр.285 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года. Сравните значения выражений:

$$2^2 \cdot 2^3$$ и $$2^5$$;
$$4^2 \cdot 4^1$$ и $$4^3$$;
$$(3^3)^2$$ и $$3^6$$;
$$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^3$$ и $$\left(\frac{1}{2}\right)^{12}$$;
$$5^3 \cdot 2^3$$ и $$(5 \cdot 2)^3$$;
$$(0{,}25 \cdot 4)^2$$ и $$0{,}25^2 \cdot 4^2$$.

Задание учебника 2021 года. Значения переменных $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$2a^2b=7$$, $$a^3c^2=2$$. Найдите значение выражения:

Подробный ответ

Используем свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n.$$

$$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5,$$
значит, выражения равны.
$$4^2 \cdot 4^1 = 4^{2+1} = 4^3,$$
значит, выражения равны.
$$(3^3)^2 = 3^{3\cdot 2} = 3^6,$$
значит, выражения равны.
$$\left(\left(\frac12\right)^4\right)^3 = \left(\frac12\right)^{4\cdot 3} = \left(\frac12\right)^{12},$$
значит, выражения равны.
$$5^3 \cdot 2^3 = (5\cdot 2)^3,$$
значит, выражения равны.
$$(0{,}25\cdot 4)^2 = 1^2 = 1,$$
$$0{,}25^2 \cdot 4^2 = (0{,}25\cdot 4)^2 = 1,$$
значит, выражения равны.

Теперь найдём значения выражений при условиях $$2a^2b=7$$ и $$a^3c^2=2$$.

$$6a^5bc^2 = 3\cdot (2a^2b)\cdot (a^3c^2) = 3\cdot 7\cdot 2 = 42.$$
$$a^7b^2c^2 = a^4b^2\cdot a^3c^2 = (a^2b)^2\cdot (a^3c^2) = \left(\frac72\right)^2\cdot 2 = \frac{49}{4}\cdot 2 = \frac{49}{2} = 24{,}5.$$
$$2\frac17 a^8bc^4 = \frac{15}{7}\cdot (a^2b)\cdot (a^6c^4) = \frac{15}{7}\cdot (a^2b)\cdot (a^3c^2)^2.$$
Так как $$a^2b=\frac72$$ и $$a^3c^2=2,$$ то
$$\frac{15}{7}\cdot \frac72 \cdot 2^2 = \frac{15}{7}\cdot \frac72 \cdot 4 = 15\cdot 2 = 30.$$