Задание 9 Параграф 28 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$|x+4y+11|+(5x-2y-17)^2=0$$; 2) $$(5x-2y-3)^2+(8x+3y-42)^2=0$$; 3) $$2x^2+9y^2+6xy-10x+25=0$$; 4) $$49x^2+40y^2-28xy-12y+1=0$$.
$$|x+4y+11|+(5x-2y-17)^2=0$$
Левая часть — сумма неотрицательных слагаемых, значит, каждое из них равно нулю:
$$\begin{cases} x+4y+11=0,\\ 5x-2y-17=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x+4y=-11.$$
Умножим его на $$2$$:
$$2x+8y=-22.$$
Второе уравнение умножим на $$1$$ и сложим с первым удобным образом:
$$\begin{cases} x+4y=-11,\\ 5x-2y=17. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$2x+8y=-22.$$
Умножим второе уравнение на $$4$$:
$$20x-8y=68.$$
Сложим:
$$22x=46,\quad x=\frac{23}{11}.$$
Подставим в $$x+4y=-11$$:
$$\frac{23}{11}+4y=-11,$$
$$4y=-11-\frac{23}{11}=-\frac{144}{11},$$
$$y=-\frac{36}{11}.$$
$$(5x-2y-3)^2+(8x+3y-42)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$\begin{cases} 5x-2y-3=0,\\ 8x+3y-42=0. \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} 5x-2y=3,\\ 8x+3y=42. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$\begin{cases} 15x-6y=9,\\ 16x+6y=84. \end{cases}$$
Сложим:
$$31x=93,\quad x=3.$$
Подставим в $$5x-2y=3$$:
$$15-2y=3,\quad -2y=-12,\quad y=6.$$
$$2x^2+9y^2+6xy-10x+25=0$$
Преобразуем выражение:
$$x^2+6xy+9y^2+(x-5)^2=0$$
или
$$(x+3y)^2+(x-5)^2=0.$$
Сумма квадратов равна нулю, значит:
$$\begin{cases} x+3y=0,\\ x-5=0. \end{cases}$$
Отсюда $$x=5$$, тогда
$$5+3y=0,\quad 3y=-5,\quad y=-\frac{5}{3}.$$
$$49x^2+40y^2-28xy-12y+1=0$$
Преобразуем:
$$49x^2-28xy+4y^2+36y^2-12y+1=0$$
$$(7x-2y)^2+(6y-1)^2=0.$$
Тогда
$$\begin{cases} 7x-2y=0,\\ 6y-1=0. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{1}{6}.$$
Подставим в первое:
$$7x-2\cdot\frac{1}{6}=0,$$
$$7x=\frac{1}{3},\quad x=\frac{1}{21}.$$
Ответ
1) $$\left(\frac{23}{11};-\frac{36}{11}\right)$$; 2) $$(3;6)$$; 3) $$\left(5;-\frac{5}{3}\right)$$; 4) $$\left(\frac{1}{21};\frac{1}{6}\right)$$.
