Упр.28.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 28.43. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении n значение выражения (5n + 10)^2 — (2n + 4)^2 делится нацело на 84? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 28-43 715

$$ (5n+10)^2-(2n+4)^2=25n^2+100n+100-4n^2-16n-16 $$
$$ =21n^2+84n+84=21(n^2+4n+4)=21(n+2)^2. $$

Пусть $$n$$ — чётное натуральное число. Тогда $$n=2k$$, где $$k$$ — натуральное число. Следовательно,
$$ n+2=2k+2=2(k+1), $$
то есть $$n+2$$ тоже чётное число. Тогда
$$ (n+2)^2=[2(k+1)]^2=4(k+1)^2. $$

Подставим в полученное выражение:
$$ 21(n+2)^2=21\cdot 4(k+1)^2=84(k+1)^2. $$
Значит, выражение делится нацело на $$84$$ при любом натуральном чётном $$n$$.

Ответ

Да, можно утверждать: выражение делится нацело на $$84$$.