Упр.28.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 28.43. Можно ли утверждать, что при любом натуральном чётном значении $$n$$ значение выражения $$(5n+10)^2-(2n+4)^2$$ делится нацело на $$84$$?

$$(5n+10)^2-(2n+4)^2=25n^2+100n+100-4n^2-16n-16$$
$$=21n^2+84n+84=21(n^2+4n+4)=21(n+2)^2.$$

Пусть $$n$$ — чётное натуральное число. Тогда $$n=2k$$, где $$k$$ — натуральное число. Следовательно,
$$n+2=2k+2=2(k+1),$$
то есть $$n+2$$ тоже чётное число. Тогда
$$(n+2)^2=[2(k+1)]^2=4(k+1)^2.$$

Подставим в полученное выражение:
$$21(n+2)^2=21\cdot 4(k+1)^2=84(k+1)^2.$$
Значит, выражение делится нацело на $$84$$ при любом натуральном чётном $$n$$.

Ответ

Да, можно утверждать: выражение делится нацело на $$84$$.