Упр.27.60 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 27.60. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 3.

Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n-1,\; n,\; n+1.$$ Тогда их кубы равны:

$$(n-1)^3,\; n^3,\; (n+1)^3.$$

Найдём сумму:

$$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3 = (n^3-3n^2+3n-1)+n^3+(n^3+3n^2+3n+1)$$
$$= 3n^3+6n = 3(n^3+2n).$$

Получили произведение, в котором есть множитель $$3$$, значит, сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на $$3$$.

Ответ

Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится нацело на $$3$$.