Упр.269 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что выражение $$x^2+(x-1)^2$$ принимает только положительные значения.

Рассмотрим выражение $$x^2+(x-1)^2.$$

Так как $$x^2 \ge 0$$ и $$(x-1)^2 \ge 0$$ при любом значении $$x,$$ то их сумма неотрицательна:

$$x^2+(x-1)^2 \ge 0.$$

Проверим, может ли выражение равняться нулю. Для этого нужно, чтобы одновременно выполнялось:

$$x^2=0 \quad \text{и} \quad (x-1)^2=0.$$

Но из $$x^2=0$$ получаем $$x=0,$$ а из $$(x-1)^2=0$$ получаем $$x=1.$$ Одновременно это невозможно.

Значит, выражение не может быть равно нулю и всегда принимает только положительные значения:

$$x^2+(x-1)^2>0.$$

Ответ

$$x^2+(x-1)^2>0$$ при любом $$x.$$