Упр.26.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 26.29. Докажите, что при любом нечётном значении $$n$$ значение выражения $$(4n+1)^2-(n+4)^2$$ кратно 120.

Преобразуем выражение:

$$(4n+1)^2-(n+4)^2=16n^2+8n+1-(n^2+8n+16)=15n^2-15.$$

Вынесем общий множитель:

$$15n^2-15=15(n^2-1)=15(n-1)(n+1).$$

Если $$n$$ — нечётное число, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ чётные, причём $$n+1$$ на 2 больше, чем $$n-1$$. Значит, одно из них кратно 4, а другое кратно 2. Тогда произведение $$(n-1)(n+1)$$ кратно 8.

Следовательно, выражение $$15(n-1)(n+1)$$ кратно $$15\cdot 8=120$$.

Значит, при любом нечётном значении $$n$$ выражение $$(4n+1)^2-(n+4)^2$$ кратно 120.

Ответ

Кратно 120.