Упр.26.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 26.29. Докажите, что при любом нечётном значении n значение выражения (4n + 1)^2 — (n + 4)^2 кратно 120. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak_polyakov7 26-29 715

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ (4n+1)^2-(n+4)^2=16n^2+8n+1-(n^2+8n+16)=15n^2-15. $$

Вынесем общий множитель:

$$ 15n^2-15=15(n^2-1)=15(n-1)(n+1). $$

Если $$n$$ — нечётное число, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ чётные, причём $$n+1$$ на 2 больше, чем $$n-1$$. Значит, одно из них кратно 4, а другое кратно 2. Тогда произведение $$ (n-1)(n+1) $$ кратно 8.

Следовательно, выражение $$15(n-1)(n+1)$$ кратно $$15\cdot 8=120$$.

Значит, при любом нечётном значении $$n$$ выражение $$ (4n+1)^2-(n+4)^2 $$ кратно 120.