Задание 13 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Подберите такие значения $$a$$ и $$b$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}x+2y=5,\\2x-ay=b\end{cases}$$:
   1) имеет бесконечно много решений;
   2) имеет единственное решение;
   3) не имеет решений.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x+2y=5,\\ 2x-ay=b. \end{cases}$$

Чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a}=\frac{5}{b}.$$

Из равенства

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a}$$

получаем

$$-a=4,\quad a=-4.$$

Из равенства

$$\frac{1}{2}=\frac{5}{b}$$

находим

$$b=10.$$

Значит, при $$a=-4$$ и $$b=10$$ система имеет бесконечно много решений.

Чтобы система имела единственное решение, коэффициенты при неизвестных не должны быть пропорциональны:

$$\frac{1}{2}\ne \frac{2}{-a}$$

или

$$a\ne -4.$$

Тогда система имеет единственное решение при любом $$b$$, если только не выполняется пропорциональность всех коэффициентов. Поэтому достаточно, чтобы

$$a\ne -4,\quad b\ne 10.$$

Чтобы система не имела решений, коэффициенты при неизвестных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{-a},\qquad \frac{1}{2}\ne \frac{5}{b}.$$

Отсюда

$$a=-4,\quad b\ne 10.$$

Ответ

1) $$a=-4,\ b=10$$;

2) $$a\ne -4,\ b\ne 10$$;

3) $$a=-4,\ b\ne 10$$.