Задание 12 Параграф 26 ГДЗ Рабочая тетрадь 2 Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ имеет бесконечно много решений система уравнений:
   
   1) $$\begin{cases} x+6y=3, \\ 5x+30y=a; \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} ax+12y=15, \\ 3x+4y=5. \end{cases}$$
   
   Найдите какие-нибудь три решения системы.

Система имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда её уравнения пропорциональны.

1. $$\begin{cases} x+6y=3,\\ 5x+30y=a. \end{cases}$$

   Во втором уравнении коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ в 5 раз больше, чем в первом, значит и свободный член должен быть в 5 раз больше:

   $$a=3\cdot 5=15.$$

   Тогда из первого уравнения:

   $$x=3-6y.$$

   Возьмём, например, $$y=0,\,1,\,-1$$. Тогда получаем три решения:

   $$(3;0),\quad (-3;1),\quad (9;-1).$$

2. $$\begin{cases} ax+12y=15,\\ 3x+4y=5. \end{cases}$$

   Для пропорциональности коэффициентов должно выполняться:

   $$\frac{a}{3}=\frac{12}{4}=\frac{15}{5}.$$

   Отсюда

   $$\frac{a}{3}=3 \quad \Rightarrow \quad a=9.$$

   Тогда из второго уравнения:

   $$3x=5-4y,\qquad x=\frac{5-4y}{3}.$$

   Возьмём, например, $$y=0,\,1,\,-1$$. Получаем три решения:

   $$\left(\frac{5}{3};0\right),\quad \left(\frac{1}{3};1\right),\quad (3;-1).$$

Ответ

1) $$a=15$$; три решения: $$(3;0),\,(-3;1),\,(9;-1).$$

2) $$a=9$$; три решения: $$\left(\frac{5}{3};0\right),\,\left(\frac{1}{3};1\right),\,(3;-1).$$