Упр.251 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Расположите выражения $$\left(-\frac{1}{7}\right)^1$$ Н, $$\left(-\frac{1}{7}\right)^2$$ Я, $$\left(-\frac{1}{7}\right)^3$$ И, $$\left(\frac{1}{7}\right)^3$$ Ш в порядке убывания их значений. Буквы, соответствующие данным выражениям, образуют фамилию знаменитого советского спортсмена. Найдите в Интернете информацию о его жизни и спортивных достижениях.
Докажите, что значение выражения: 1) $$4^{40}-1$$; 2) $$2004^{171}+171^{2004}$$ делится нацело на 5.

Подробный ответ

Рассмотрим значения выражений:

$$\left(-\frac17\right)^1=-\frac17,\quad \left(-\frac17\right)^2=\frac1{49},\quad \left(-\frac17\right)^3=-\frac1{343},\quad \left(\frac17\right)^3=\frac1{343}.$$

Сравним их по убыванию:

$$\frac1{49}>\frac1{343}>-\frac1{343}>-\frac17.$$

Значит, в порядке убывания получаем:

$$\left(-\frac17\right)^2,\ \left(\frac17\right)^3,\ \left(-\frac17\right)^3,\ \left(-\frac17\right)^1.$$

Соответствующие буквы: Я, Ш, И, Н. Получается фамилия Яшин.

Докажем делимость на 5.

1) $$4^{40}-1.$$
Число $$4^{40}$$ оканчивается цифрой 6, значит,
$$4^{40}-1$$ оканчивается цифрой 5, следовательно, делится на 5.

2) $$2004^{171}+171^{2004}.$$
Число $$2004^{171}$$ оканчивается цифрой 4, так как число 2004 оканчивается цифрой 4, а степень нечётная.
Число $$171^{2004}$$ оканчивается цифрой 1, так как любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1.
Тогда сумма оканчивается цифрой 5:
$$4+1=5,$$
значит, делится на 5.