Упр.25.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 25.33. Известно, что x+y=a^2/4, y+z=-a, x+z=1. Докажите, что выражение x+y+z принимает только неотрицательные значения.

Сложим данные равенства:

$$ x+y=\frac{a^2}{4}, \quad y+z=-a, \quad x+z=1 $$

Тогда

$$ (x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1 $$

Левая часть равна

$$ 2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1 $$

Преобразуем правую часть:

$$ 2(x+y+z)=\left(\frac{a}{2}-1\right)^2 $$

Следовательно,

$$ x+y+z=\frac{\left(\frac{a}{2}-1\right)^2}{2} $$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$ \left(\frac{a}{2}-1\right)^2 \ge 0 $$

значит,

$$ x+y+z \ge 0. $$

Ответ

$$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.