Упр.25.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 25.33. Известно, что $$x+y=\frac{a^2}{4}$$, $$y+z=-a$$, $$x+z=1$$. Докажите, что выражение $$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.

Сложим данные равенства:

$$x+y=\frac{a^2}{4}, \quad y+z=-a, \quad x+z=1$$

Тогда

$$(x+y)+(y+z)+(x+z)=\frac{a^2}{4}-a+1$$

Левая часть равна

$$2(x+y+z)=\frac{a^2}{4}-a+1$$

Преобразуем правую часть:

$$2(x+y+z)=\left(\frac{a}{2}-1\right)^2$$

Следовательно,

$$x+y+z=\frac{\left(\frac{a}{2}-1\right)^2}{2}$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\left(\frac{a}{2}-1\right)^2 \ge 0$$

значит,

$$x+y+z \ge 0.$$

Ответ

$$x+y+z$$ принимает только неотрицательные значения.