Упр.248 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. Верно ли равенство:
   1) $$3^2 + 4^2 = 7^2$$;
   2) $$5^2 + 12^2 = 13^2$$;
   3) $$1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 13^2$$;
   4) $$(1 + 2 + 3)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3$$?
2. Какой цифрой оканчивается значение выражения ($$n$$ — натуральное число):
   1) $$4^{100}$$;
   2) $$3^{4n}$$;
   3) $$4^n$$;
   4) $$3^n$$?

1. Проверим равенства:

   $$3^2+4^2=9+16=25,\qquad 7^2=49,$$
   значит, $$3^2+4^2\ne 7^2.$$

   $$5^2+12^2=25+144=169,\qquad 13^2=169,$$
   значит, $$5^2+12^2=13^2.$$

   $$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=1+9+25+49+81=165,$$
   а
   $$13^2=169,$$
   значит, $$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2\ne 13^2.$$

   $$\left(1+2+3\right)^2=6^2=36,$$
   а
   $$1^3+2^3+3^3=1+8+27=36,$$
   значит, $$\left(1+2+3\right)^2=1^3+2^3+3^3.$$

2. Определим, какой цифрой оканчивается значение выражения:

   $$4^{100}=\left(4^2\right)^{50}=16^{50},$$
   поэтому число оканчивается цифрой $$6.$$

   $$3^{4n}=\left(3^4\right)^n=81^n,$$
   а любое число, оканчивающееся цифрой $$1,$$ в любой натуральной степени оканчивается цифрой $$1.$$

   Степени числа $$4$$ чередуют последние цифры:
   $$4^1=4,\;4^2=16,\;4^3=64,\;4^4=256,$$ поэтому при нечётной степени последняя цифра $$4,$$ при чётной — $$6.$$

   Степени числа $$3$$ оканчиваются цифрами $$3,9,7,1$$ и далее повторяются:
   $$3^1=3,\;3^2=9,\;3^3=27,\;3^4=81,\;3^5=243.$$

Ответ

1) неверно; 2) верно; 3) неверно; 4) верно.
1) $$6$$; 2) $$1$$; 3) $$4$$ или $$6$$ в зависимости от чётности $$n$$; 4) $$3, 9, 7, 1$$.