Упр.23.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 7 класс, Вентана-Граф: 23.15. Разложите на множители многочлен 27x^3 -18x^2 y-12xy^2 +8y^3.

Сгруппируем слагаемые:

$$27x^3-18x^2y-12xy^2+8y^3=(27x^3+8y^3)-(18x^2y+12xy^2).$$

Первую скобку разложим как сумму кубов, а во второй вынесем общий множитель:

$$27x^3+8y^3=(3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2),$$

$$18x^2y+12xy^2=6xy(3x+2y).$$

Тогда

$$27x^3-18x^2y-12xy^2+8y^3=(3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2)-6xy(3x+2y).$$

Вынесем общий множитель $$3x+2y$$:

$$=(3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2-6xy)=(3x+2y)(9x^2-12xy+4y^2).$$

Заметим, что

$$9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2.$$

Следовательно,

$$27x^3-18x^2y-12xy^2+8y^3=(3x+2y)(3x-2y)^2.$$

Ответ

$$\left(3x+2y\right)\left(3x-2y\right)^2$$