Упр.226 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1. На доске написаны числа $$1, 2, 3, \ldots, 10$$. За один шаг разрешается, выбрав два числа, к каждому из них прибавить $$5$$ или из каждого вычесть $$1$$. Можно ли с помощью этих операций добиться того, чтобы все числа, записанные на доске, оказались равными?
2. Представьте в виде степени выражение:
   1) $$a^n a^5$$; 2) $$a a^n$$; 3) $$a^3 a^n$$; 4) $$(a^3)^n$$; 5) $$(a^n)^2 \cdot (a^5)^n$$, где $$n$$ — натуральное число.

1) При каждом шаге сумма всех чисел либо увеличивается на $$10$$, либо уменьшается на $$2$$.

Сначала сумма чисел равна

$$1+2+3+\dots+10=55,$$

то есть она нечётная. После любой операции сумма остаётся нечётной: к нечётному числу прибавляется $$10$$ или вычитается $$2$$, а это не меняет чётность.

Если бы все числа стали равны, то их сумма была бы равна $$10x$$, то есть была бы чётной. Получаем противоречие.

Значит, сделать все числа равными нельзя.

2) Представим выражения в виде степени:

1. $$a^n \cdot a^5 = a^{n+5}$$;
2. $$a \cdot a^n = a^{n+1}$$;
3. $$a^3 \cdot a^n = a^{n+3}$$;
4. $$\left(a^3\right)^n = a^{3n}$$;
5. $$\left(a^n\right)^2 \cdot \left(a^5\right)^n = a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{7n}$$.

Ответ

1) Нельзя. 2) $$a^{n+5}$$; $$a^{n+1}$$; $$a^{n+3}$$; $$a^{3n}$$; $$a^{7n}$$.