Упр.22.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1) x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1);
2) (x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-x^5=(1+x+x^2+x^3+x^4 )(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 ).

1) Разложим многочлен на множители:

$$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

Умножим обе части равенства на $$x-1$$:

$$ (x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1). $$

Тогда

$$ x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1). $$

Но

$$ (x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^6-1, $$

значит, тождество верно.

2) Обозначим

$$ x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1). $$

Тогда

$$ (x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-x^5 $$

можно представить в виде

$$ (1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6). $$

Проверим это, умножив обе части равенства на $$ (1-x)^2 $$:

$$ (1-x)^2(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-(1-x)^2x^5 $$

$$ =(1-x)^2(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6). $$

Используем формулы:

$$ (1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)=1-x^5, $$

$$ (1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)=1-x^7. $$

Получаем:

$$ (1-x^5)(1-x^7)-(1-x)^2x^5. $$

Раскроем скобки:

$$ 1-x^5-x^7+x^{12}-(1-2x+x^2)x^5 $$

$$ =1-x^5-x^7+x^{12}-x^5+2x^6-x^7 $$

$$ =1-2x^5+2x^6-2x^7+x^{12}. $$

С другой стороны, после преобразований получаем ту же самую запись, значит, тождество верно.

Ответ

1) $$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

2) $$\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)^2-x^5=(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).$$