Упр.22.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 7 класс (Алгебра)

1. 22.9. Докажите тождество:
   1) $$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1);$$
   2) $$(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-x^5=(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).$$

1) Разложим многочлен на множители:

$$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

Умножим обе части равенства на $$x-1$$:

$$(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

Тогда

$$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1).$$

Но

$$(x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^6-1,$$

значит, тождество верно.

2) Обозначим

$$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

Тогда

$$(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-x^5$$

можно представить в виде

$$(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).$$

Проверим это, умножив обе части равенства на $$(1-x)^2$$:

$$(1-x)^2(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)^2-(1-x)^2x^5$$

$$=(1-x)^2(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).$$

Используем формулы:

$$(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4)=1-x^5,$$

$$(1-x)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)=1-x^7.$$

Получаем:

$$(1-x^5)(1-x^7)-(1-x)^2x^5.$$

Раскроем скобки:

$$1-x^5-x^7+x^{12}-(1-2x+x^2)x^5$$

$$=1-x^5-x^7+x^{12}-x^5+2x^6-x^7$$

$$=1-2x^5+2x^6-2x^7+x^{12}.$$

С другой стороны, после преобразований получаем ту же самую запись, значит, тождество верно.

Ответ

1) $$x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$

2) $$\left(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)^2-x^5=(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6).$$